ANTECEDENTES HISTÓRICOS DEL CÁLCULO
INFINITESIMAL Y SUS APLICACIONES
“Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero hay un grano de descubrimiento en la solución de cualquier problema. El problema del lector puede ser modesto, pero desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas; si lo resuelve por sí solo puede experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento”
GEORGE POLYA
El cálculo infinitesimal representa un eslabón muy importante de la matemática moderna, también es conocido en el mundo matemático como simplemente el cálculo.
El cálculo es muy dinámico, se interesa en su estudio en el cambio y en el movimiento, trata la aproximación que tienen algunas cantidades hacia otras, esta incluye el estudio de los límites, derivadas (razones de cambio), integrales (cálculo de áreas) y series finitas.
El Cálculo infinitesimal es el estudio del cambio, en la misma manera que la geometría estudia el espacio. Esta rama de las matemáticas tiene muchísimas aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, y se utiliza cuando el álgebra sola no nos da la posibilidad de resolver algunos problemas que se nos presentan.
Los orígenes de esta ciencia se remontan hasta los antiguos matemáticos griegos, quienes calcularon áreas empleando el “método exhaustivo” que consistía en inscribir polígonos en una figura y circunscribir otros polígonos en torno a la figura, aumentando el número de lados de dicho polígono, trazando triángulos desde un vértice y efectuando la suma de las áreas, como una aproximación del área de la figura circunscrita.
Donde el área del dodecágono A12 es una aproximación del área del circulo de radio r.
De la escuela de los matemáticos griegos, Eudoxo (siglo V a.c) empleo el método exhaustivo para calcular áreas y volúmenes, probando la conocida formula para calcular el área de un circulo
Algunas de las ideas básicas del cálculo se pueden encontrar en trabajos realizados por Arquímedes (287-212 a.c) que desarrolló más allá su idea, inventando un método heurístico que se asemeja al cálculo infinitesimal y en algunas obras del siglo XVII escritas por el filósofo y matemático Francés René Descartes (1596-1650), Pierre de Fermat (1605-1665), John Wallis (1616-1703) e Isaac Barrow (1630-1677), sin embargo, la invención del cálculo infinitesimal se atribuye a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) ya que ellos fueron los iniciadores de la generalización y unificación del tema. Hubieron otros personajes del siglo XVII y XVIII quienes unieron esfuerzos para lograr el perfeccionamiento del cálculo, alguno de ellos fueron Jacob Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) y Joseph L. Lagrange (1736.1813). Sin embargo, no fue hasta el siglo XIX que determinados procesos del cálculo recibieron un sonado apoyo de otros matemáticos.
PIERRE DE FERMAT (1601-1665)
Abogado de carrera, magistrado de profesión y poeta, de origen francés, Fermat fue además un apasionado de las matemáticas, disciplina en la cual obtuvo sus logros más trascendentes, profundizo en teoría de conjuntos, probabilidad, geometría analítica y cálculo diferencial. En gran medida la fama de su nombre se debe a teoremas que dejó planteados, pero sin la correspondiente demostración, entre los que se cuenta el conocido último teorema de Fermat, por ser el último que quedaba por demostrar.
LEONHARD EULER (1707-1783)
Nació en Basel, Suiza, además de estudiar teología estudió matemáticas, medicina, astronomía, física e idiomas asiáticos. Este matemático desarrolló la teoría de las funciones trigonométricas y logarítmicas. En el ámbito de la geometría desarrollo conceptos básicos como los del ortocentro, circuncentro y baricentro en un triángulo. De sus trabajos sobre mecánica destacan, entre los dedicados a la mecánica de fluidos, con la formulación de ecuaciones que rigen su movimiento.
PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749-1827)
El matemático, físico y astrónomo francés Pierre Simon, marques de Laplace, de vocación matemática, en 1793 formó parte de la comisión que definió el sistema métrico decimal de medidas. En 1796 público Exposición del sistema del mundo, en la cual presentó su hipótesis sobre la formación del sistema solar, dicha obra sirvió de base para su tratado de mecánica celeste, en la que aplico sus descubrimientos sobre ecuaciones diferenciales para formar una teoría completa sobre los movimientos planetarios y sus anomalías, con ello Laplace comprendió y sistematizó los trabajos de separados de Newton, Halley, Clairaut, D´Ambert y Euler acerca de la gravitación universal.
GEORGE FRIEDRICH BERNHARD RIEMAN
Nació en Hannover, Alemania, tuvo como profesores a Jacobi, Steiner y Dirichlet en la universidad de Berlín y a Gauss en la Universidad de Gotinga, quien dirigió su tesis doctoral, presentada en 1851 y dedicada a la teoría de las funciones con variable compleja, investigó la representación de funciones por series trigonométricas, para lo cual desarrolló un tipo de integrales (hoy conocida como integrales de Riemann) que no se limitaban a funciones continuas, su más conocida aportación fue la geometría no euclidiana.
Nació en Hannover, Alemania, tuvo como profesores a Jacobi, Steiner y Dirichlet en la universidad de Berlín y a Gauss en la Universidad de Gotinga, quien dirigió su tesis doctoral, presentada en 1851 y dedicada a la teoría de las funciones con variable compleja, investigó la representación de funciones por series trigonométricas, para lo cual desarrolló un tipo de integrales (hoy conocida como integrales de Riemann) que no se limitaban a funciones continuas, su más conocida aportación fue la geometría no euclidiana.
Las dos ramas del cálculo y sus problemas principales, el problema del área y el de la tangente, parecen muy diferentes pero existe una conexión muy estrecha entre ellas. El problema de la tangente ha dado lugar al cálculo diferencial, el cual se inventó más de 2000 años después que el cálculo integral.
Las dos operaciones del cálculo son la diferenciación y la integración.
Aplicaciones del cálculo infinitesimal
Después de que Isaac Newton inventó su versión del cálculo, la utilizó para explicar el movimiento de algunos planetas en nuestro sistema solar. Hoy en día se usa para calcular las órbitas de satélites y naves espaciales, predecir los tamaños de poblaciones, saber la rapidez con que se incrementan los precios de un producto en el mercado, calcular en física errores de medición, obtener las dimensiones de un terreno que nos de el área máxima, obtener el volumen de un cuerpo irregular, etc.El cálculo infinitesimal se puede aplicar en la economía, la administración, la física, la química, etc. Los principales elementos que se utilizan en esta rama de las matemáticas, son las funciones, las derivadas, las integrales, diferenciales, los sistemas de ecuaciones, la pendiente, entre otros; que estos a su vez en conjunto ayudan a realizar grandes cálculos en importantes empresas, o simples operaciones en la economía familiar.
Algunas aplicaciones del cálculo son:
- El estudio de movimientos, aspectos de velocidad, y aceleración.
- El cálculo de errores.
- El cálculo de volúmenes de cuerpos irregulares y áreas de figuras.
- El cálculo de máximos y mínimos, por ejemplo:En una agencia de viajes, o en una empresa, saber cuál es la mayor ganancia que se puede obtener en cierto periodo, o con cierto producto, pero a la vez, igualmente calcular, si existen perdidas en estos productos, o en un lapso de tiempo. Si se aplica de manera correcta el cálculo diferencial, se podrán obtener estos resultados, sin ningún problema.
“El éxito del cálculo depende mucho de los conocimientos previos que tenemos de Álgebra, Geometría Plana, Geometría analítica, Funciones y trigonometría”
Bibliografía consultada:
Larson, Hostetler,Edwards. 1999. Cálculo y Geometría Analítica. México : Mc Graw Hill, 1999. Sexta Edición.
Stewart, James. 2009. Cálculo de una variable. México : CENGAGE Learning, 2009. Sexta Edición.
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