CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

MATEMÁTICAS II.

Bloque I

ÁNGULOS

Definición: Es la amplitud de rotación de una semirrecta que gira sobre un mismo plano entorno a un punto fijo u origen, el cual se conoce como vértice del ángulo y las dos posiciones de la semirrecta serán los lados inicial y final del ángulo.

                                                                                 A´

                                Lado final

                    Vértice                                          

                                           Lado inicial              A

Por  el sentido de rotación los ángulos pueden ser:

Ángulos positivos.

Si la rotación se efectúa en el sentido contrario al de las manecillas del reloj.

 

                                           α (+)                     

                                                   

Ángulos negativos.

Si la rotación de la semirrecta se efectúa en el mismo sentido que las manecillas del reloj.

 

                                             α (-)

Ángulo de elevación.

Si a partir de la horizontal el ángulo se mide hacia arriba.

Horizontal                  θ                                    ‹ θ ángulo de elevación

Ángulo de depresión.

Si a partir de la horizontal él ángulo se mide hacia abajo.

                                                            Horizontal

                                 θ                                                                  ‹ θ ángulo de depresión

                            

                                         

Las unidades de uso común para la medición de ángulos se trabajan en dos sistemas:

Sistema Sexagesimal.

Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos la unidad de medida angular llamada grado sexagesimal, que es igual a 1/360 de una revolución, se simboliza con un círculo pequeño como índice y hay 360 grados en una revolución.

Minuto: Es una de 60 partes iguales en que se divide un grado por tanto

                   1°= 60´         (1 grado es igual a 60 minutos)

Segundo: Es una de 60 partes iguales en que se divide un minuto, por tanto hay 60 segundos en un minuto.

                  1´= 60´´         (1 minuto es igual a 60 segundos)

Sistema Circular.

En el sistema internacional de medidas la unidad de medida angular es el “radian”, que es el equivalente a la amplitud generada por un arco de la circunferencia igual a la magnitud del radio. Hay  2π  radianes en una revolución.

                 2π =una revolución

                2π =360°

                π =180°

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS.

POR SU ABERTURA.

Por su magnitud los ángulos se clasifican en:

Ángulos convexos.

Son aquellos que miden más de 0° pero menos de 180°, esta clasificación incluye a los tres siguientes.

a)    Ángulo agudo: Es aquel que mide más de 0° pero menos de 90°.

                                                  

                                                        A

                                                                           0° ˂ ABC˂ 90°

                            B                           C

b) Ángulo  recto: Es el ángulo que mide exactamente 90°.

                                 M        

                                                                         MNO= 90°

                        N                           O

c) Ángulo Obtuso: Es aquel que mide más de 90° pero menos de 180°.

P                                                     90°˂ PQR ˂ 180°

                                 Q                      R

d) Ángulo colineal o llano: Es el que mide exactamente 180°.

 

                                                                                               AOB=180°

     A                               O                           B

Ángulo entrante o cóncavo

Es aquel que mide más de 180° pero menos de 360°, se presentan los casos siguientes:

 

                O                      A                                                                  O                    A     

  B                                                                                                                             B

                                                         180°˂AOB˂360°

Ángulo Perígono: Es el ángulo generado por una revolución y mide exactamente 360°.

                                                                                                         AOB=360°

Nota: Como un caso especial mencionaremos el ángulo nulo que es aquel que mide exactamente 0°.

PARES DE ÁNGULOS.

Se llaman pares de ángulos a todos aquellos que tienen un lado común y se clasifican como adyacentes

 

                                        α                  Lado comun

                                                        β                                                              

                                                                                            α  y β son adyacentes

POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS.

Ángulos complementarios: Son dos ángulos adyacentes cuya suma es igual a 90° y se dice que cada uno es complemento del otro.

 

                                     Θ                                            α  +   θ = 90°

                                        α

α  es el complemento de  θ  y   θ es el complemento de α.

Ángulos suplementarios: Son dos ángulos adyacentes cuya suma es igual a 180° y donde cada uno de ellos es el suplemento del otro.

                     α                       θ                                          α  +   θ = 180°

α  es el suplemento de  θ  y   θ es el suplemento de α.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Cuando dos paralelas son cortadas por una transversal o secante se distinguen ocho pares de ángulos iguales entre sí, y son los siguientes.

Partiendo de dos rectas paralelas r y s, y una secante t que corta a ambas, da lugar a ocho ángulos, cuya posición relativa da lugar a su definición.

Denominación de los ángulos.

·         Ángulos adyacentes: Si un lado en común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.

Son ángulos adyacentes los siguientes pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

·         Ángulos opuestos por el vértice: Si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Son ángulos opuestos por el vértice los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

·         Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Son ángulos correspondientes los siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.

Los ángulos correspondientes son congruentes.

·         Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos internos los siguientes pares de ángulos: c,f;  d,e.

Los ángulos alternos internos son congruentes.

·         Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos externos los siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.

Los ángulos alternos externos son congruentes.

·         Ángulos conjugados o colaterales internos: que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

Son ángulos colaterales internos los siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.

Los ángulos colaterales internos son suplementarios.

·         Ángulos conjugados o colaterales externos: que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.

Los ángulos colaterales externos son suplementarios.

Matemáticas IV. Bloque I. Función compuesta.

Matematicas IV. bloque I. Video de operaciones con funciones

Redes- La Proporción Áurea (parte1)

NÚMEROS FIBONACCI "LA PROPORCIÓN AUREA"

PROBLEMARIO DE MATEMATICAS III PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO. COBAO

1.-En qué cuadrante se encuentra cada punto siguiente:

a.     P (-4, 5) 

b.    P (1, 4)

c.     A (5,-4)

2.- Encuentra el valor de x e y para que sean iguales las parejas

a.     (4x-9, 6y²)  y     (-5x+3, 16)

b.    (3a+5,7b-1)   y (a+3, b-8)

3.- La expresión y=20+10t-5t², modela la altura que va alcanzando un objeto al  lanzarse hacia arriba desde un edificio de  20 m ¿qué punto es parte del lugar geométrico de dicha función?

4.- Dos barcos A y B se encuentran en el mar, el barco A se localiza en (2, 4)  y el barco B en (5, 8). Si se

considera que las longitudes están expresadas en kilómetros, ¿cuál es la distancia entre los dos barcos?

5.- Dada las coordenadas de los puntos extremos de una recta, encuentra:

La distancia entre los puntos, las coordenadas del punto medio, la pendiente y la ecuación de la recta.

a.     P₁ ( 0, 4)  y  P₂  (-2,-7)

b.    A(-2, 3)  y  B(4, 5)

c.     M(-2,6)  y N(-3,4)

d.    A(-0.5, 7) y B(2,-0.8)

e.     D(-4,4) y E(4,0)

f.     A(1/2, 0)  y B(-4, 1/3)

g.    M(-0.5,1) y N(-1, 1.4)

6.- La parte más alta de una antena transmisora de radio tiene coordenadas (15, 25). Si un aparato receptor tiene como coordenadas (0, 0) y las longitudes están expresadas en metros, entonces la distancia del aparato receptor a la parte más alta de la antena es

7.- Encuentra las coordenadas del P que divide al segmento formado por A( -4, -1) y B( 3, 4) en la razón r=2/5   y gráfica.

8.- La recta que pasa por los puntos  A( 4, 5)  y  B (x, -3) tiene una pendiente de 2/3,       ¿cuál es la abscisa del punto B?

9.- Calculando las pendientes verifica si las rectas  AB  y  CD  son paralelas o perpendiculares

A( 1, 3 ) ,  B(-1, 1)

C(1, 1 )  , D(0, 2 )

10.- Escribe la ecuación de la recta en la forma punto pendiente, si esta pasa por el punto     P(-1, 2) y tiene una pendiente de 6.

11.-A partir de la ecuación halla un punto y la pendiente de la recta:

a.       y-4=5(x+1)

b.      y=4x+5

c.       y-2=2(x+3)

d.      y+1=x+2

12.-Dado la pendiente  m=5 y  la ordenada al origen b=-3, escribir la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen.

13.- Calcula el área del polígono formado por los puntos:  A(-1,2),  B(0,5), C(4,1), D(-2,-5).

14.- Encuentra el ángulo formado por las rectas cuyas pendientes son:

a.       m=3, m=-1

b.      m=-4, m=1/4

c.       m=0.5, m=-2

d.      m=1/4, m=-3

e.      m=0, m=-3

f.        m=1, m=-1

15.- En una fábrica de partes para autos en el año 2001 se produjeron 3000 piezas y en el año 2003 la producción fue de  4500 piezas. Suponiendo que la producción se fue incrementando en forma gradual con respecto al tiempo, ¿cuál fue la tasa de producción en un año?

16.-Un equipo para instalaciones de aire acondicionado se deprecia cada x año de acuerdo a la expresión  y= - 3X+ 20, donde y es en miles de pesos. Determina en qué año su costo fue de $12,000.

17.- La tarifa al abordar un taxi es de de $35. Por cada kilómetro recorrido, el costo adicional es de $4. Escribe una ecuación para el costo del viaje en función de los kilómetros recorridos.

18.-Calcula la distancia de la recta al  punto  dado:

a.       5x+4y-8=0,      P(2,3)

b.      -6x+9y-1=0,       P(-1,4)

c.       4x-8=0,       P(0,-3)

d.      5x-3y-10=0,     P(0.5,-4)

e.      Y=5x-4,   P(-4,-3)

19.- Escribe la forma normal de la recta cuya distancia al origen es 6 y α=40^o.

20.- Convierte las ecuaciones del reactivo 18 a la forma normal.

21.-  Escribe ecuación de la circunferencia en forma ordinaria, encuentra las coordenadas del centro y la longitud del radio.

a.     x²+y²-10=0

b.    4x²+4y²-80=0

c.     x²+y²+20x+10y-8=0

d.    x²+y²-10x-4y+3=0

e.     4x²+4y²-4x+4y-20=0

f.     3x²+3y²-6x+9=0

g.    x²+y²-4y-12=0

22.-  ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia en su forma general  y ordinaria en cada caso:

a.     C(0,0), r=4

b.    C(0,0),  r=5

c.     C(0,0),  r=√6

d.    C(1,-3), r=4

e.     C8-1,4), r=3

f.     C(-0.5,-1),  r=√3

g.    C(1/4, 0.6), r=1/5

23.- Hallar la ecuación de una circunferencia de centro  ( 3,1)   y   que    sea   tangente a la recta  2x+3y – 9=0

24.- Encuentra la ecuación de la parábola forma general y ordinaria en cada caso:

a.    V(0,0),  F(-1, 0)

b.    V(0,0), F(0, 4)

c.    V(0,0), LR=8, abre hacia la derecha

d.    V(0,0), p=-2, vertical

e.    V(0,0), p=4, horizontal

f.     V(-1,2), F(4,2)

g.    V(3,1), F(3,-4)

h.    V(1,4), p=-5, vertical

i.      V(2,-1), p=2, horizontal

j.      F(-1,5), p=4, vertical

k.    V(0,-6), Lr=8, horizontal

l.      V(4,-2), Lr=10, horizontal

25.- Escribe la ecuación de la parábola en forma ordinaria y encuentra los elementos que lo componen (vértice, lado recto, ecuación de directriz, foco, ecuación del eje de simetría)

a.       x²+4y+8x-10=0

b.      x²-4x+2y-5=0

c.       3x²+y-6x+1=0

d.      y²-4x+4y+1=0

e.      y²-5x+6y+7=0

f.        5y²-4x+6y-3=0

g.       y²-12x=0

h.      x²+4y-12=0

26.- Encuentra la ecuación de la elipse en forma ordinaria y general en cada caso:

a.       C(0,0), 2a=8, 2b=6, horizontal.

b.      C(0,0) , a=3,  b=2, vertical.

c.       C(0,0), a=5,  c=√3, horizontal.

d.      C(0,0), F(±3,0)

e.      C(0,0), F(0,±4)

f.        C(0,0), e=0.8, horizontal.

g.       C(0,0), e=0.2, vertical.

h.      C(0,0), Lr=10, paralelo al eje x

i.         C(0,0), V(0,±5)

j.        C(1,3),  F`(1,-2)

k.       C(-2,-4), F`(3,-4)

l.         C(2,2), F(2,6)

m.    C(-1,2), 2a=6, b=1, vertical

n.      C(0,-0.5),  b=2, c=1, horizontal

o.      F(-1,5), F`(4,5)

p.      V(-1,3), V`(-1,-1)

27.- Dada la ecuación de la elipse en forma general, convertirla a su forma ordinaria y encuentra los elementos que lo componen (Coordenadas del centro, vértices, focos, excentricidad, lado recto, longitud eje mayor, longitud eje menor, distancia focal).

a.       x²+4y²-4x+6y-10=0

b.      3x²+4y²-12=0

c.       5x²+10y²-50=0

d.      x²+6y²+4x+2y-1=0

e.      2x²+3y²+6x-9y-7=0

f.        3x²+6y²+12x-14y+1=0

g.       5x²+y²-8x-12=0

h.      x²+9y²+9y-9=0

                                                                                      ELABORÓ: Ing. José Luis Villalobos Santiago.