PROBLEMARIO DE MATEMATICAS III PARA EXAMEN EXTRAORDINARIO. COBAO

1.-En qué cuadrante se encuentra cada punto siguiente:

a.     P (-4, 5) 

b.    P (1, 4)

c.     A (5,-4)

2.- Encuentra el valor de x e y para que sean iguales las parejas

a.     (4x-9, 6y²)  y     (-5x+3, 16)

b.    (3a+5,7b-1)   y (a+3, b-8)

3.- La expresión y=20+10t-5t², modela la altura que va alcanzando un objeto al  lanzarse hacia arriba desde un edificio de  20 m ¿qué punto es parte del lugar geométrico de dicha función?

4.- Dos barcos A y B se encuentran en el mar, el barco A se localiza en (2, 4)  y el barco B en (5, 8). Si se

considera que las longitudes están expresadas en kilómetros, ¿cuál es la distancia entre los dos barcos?

5.- Dada las coordenadas de los puntos extremos de una recta, encuentra:

La distancia entre los puntos, las coordenadas del punto medio, la pendiente y la ecuación de la recta.

a.     P₁ ( 0, 4)  y  P₂  (-2,-7)

b.    A(-2, 3)  y  B(4, 5)

c.     M(-2,6)  y N(-3,4)

d.    A(-0.5, 7) y B(2,-0.8)

e.     D(-4,4) y E(4,0)

f.     A(1/2, 0)  y B(-4, 1/3)

g.    M(-0.5,1) y N(-1, 1.4)

6.- La parte más alta de una antena transmisora de radio tiene coordenadas (15, 25). Si un aparato receptor tiene como coordenadas (0, 0) y las longitudes están expresadas en metros, entonces la distancia del aparato receptor a la parte más alta de la antena es

7.- Encuentra las coordenadas del P que divide al segmento formado por A( -4, -1) y B( 3, 4) en la razón r=2/5   y gráfica.

8.- La recta que pasa por los puntos  A( 4, 5)  y  B (x, -3) tiene una pendiente de 2/3,       ¿cuál es la abscisa del punto B?

9.- Calculando las pendientes verifica si las rectas  AB  y  CD  son paralelas o perpendiculares

A( 1, 3 ) ,  B(-1, 1)

C(1, 1 )  , D(0, 2 )

10.- Escribe la ecuación de la recta en la forma punto pendiente, si esta pasa por el punto     P(-1, 2) y tiene una pendiente de 6.

11.-A partir de la ecuación halla un punto y la pendiente de la recta:

a.       y-4=5(x+1)

b.      y=4x+5

c.       y-2=2(x+3)

d.      y+1=x+2

12.-Dado la pendiente  m=5 y  la ordenada al origen b=-3, escribir la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen.

13.- Calcula el área del polígono formado por los puntos:  A(-1,2),  B(0,5), C(4,1), D(-2,-5).

14.- Encuentra el ángulo formado por las rectas cuyas pendientes son:

a.       m=3, m=-1

b.      m=-4, m=1/4

c.       m=0.5, m=-2

d.      m=1/4, m=-3

e.      m=0, m=-3

f.        m=1, m=-1

15.- En una fábrica de partes para autos en el año 2001 se produjeron 3000 piezas y en el año 2003 la producción fue de  4500 piezas. Suponiendo que la producción se fue incrementando en forma gradual con respecto al tiempo, ¿cuál fue la tasa de producción en un año?

16.-Un equipo para instalaciones de aire acondicionado se deprecia cada x año de acuerdo a la expresión  y= - 3X+ 20, donde y es en miles de pesos. Determina en qué año su costo fue de $12,000.

17.- La tarifa al abordar un taxi es de de $35. Por cada kilómetro recorrido, el costo adicional es de $4. Escribe una ecuación para el costo del viaje en función de los kilómetros recorridos.

18.-Calcula la distancia de la recta al  punto  dado:

a.       5x+4y-8=0,      P(2,3)

b.      -6x+9y-1=0,       P(-1,4)

c.       4x-8=0,       P(0,-3)

d.      5x-3y-10=0,     P(0.5,-4)

e.      Y=5x-4,   P(-4,-3)

19.- Escribe la forma normal de la recta cuya distancia al origen es 6 y α=40^o.

20.- Convierte las ecuaciones del reactivo 18 a la forma normal.

21.-  Escribe ecuación de la circunferencia en forma ordinaria, encuentra las coordenadas del centro y la longitud del radio.

a.     x²+y²-10=0

b.    4x²+4y²-80=0

c.     x²+y²+20x+10y-8=0

d.    x²+y²-10x-4y+3=0

e.     4x²+4y²-4x+4y-20=0

f.     3x²+3y²-6x+9=0

g.    x²+y²-4y-12=0

22.-  ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia en su forma general  y ordinaria en cada caso:

a.     C(0,0), r=4

b.    C(0,0),  r=5

c.     C(0,0),  r=√6

d.    C(1,-3), r=4

e.     C8-1,4), r=3

f.     C(-0.5,-1),  r=√3

g.    C(1/4, 0.6), r=1/5

23.- Hallar la ecuación de una circunferencia de centro  ( 3,1)   y   que    sea   tangente a la recta  2x+3y – 9=0

24.- Encuentra la ecuación de la parábola forma general y ordinaria en cada caso:

a.    V(0,0),  F(-1, 0)

b.    V(0,0), F(0, 4)

c.    V(0,0), LR=8, abre hacia la derecha

d.    V(0,0), p=-2, vertical

e.    V(0,0), p=4, horizontal

f.     V(-1,2), F(4,2)

g.    V(3,1), F(3,-4)

h.    V(1,4), p=-5, vertical

i.      V(2,-1), p=2, horizontal

j.      F(-1,5), p=4, vertical

k.    V(0,-6), Lr=8, horizontal

l.      V(4,-2), Lr=10, horizontal

25.- Escribe la ecuación de la parábola en forma ordinaria y encuentra los elementos que lo componen (vértice, lado recto, ecuación de directriz, foco, ecuación del eje de simetría)

a.       x²+4y+8x-10=0

b.      x²-4x+2y-5=0

c.       3x²+y-6x+1=0

d.      y²-4x+4y+1=0

e.      y²-5x+6y+7=0

f.        5y²-4x+6y-3=0

g.       y²-12x=0

h.      x²+4y-12=0

26.- Encuentra la ecuación de la elipse en forma ordinaria y general en cada caso:

a.       C(0,0), 2a=8, 2b=6, horizontal.

b.      C(0,0) , a=3,  b=2, vertical.

c.       C(0,0), a=5,  c=√3, horizontal.

d.      C(0,0), F(±3,0)

e.      C(0,0), F(0,±4)

f.        C(0,0), e=0.8, horizontal.

g.       C(0,0), e=0.2, vertical.

h.      C(0,0), Lr=10, paralelo al eje x

i.         C(0,0), V(0,±5)

j.        C(1,3),  F`(1,-2)

k.       C(-2,-4), F`(3,-4)

l.         C(2,2), F(2,6)

m.    C(-1,2), 2a=6, b=1, vertical

n.      C(0,-0.5),  b=2, c=1, horizontal

o.      F(-1,5), F`(4,5)

p.      V(-1,3), V`(-1,-1)

27.- Dada la ecuación de la elipse en forma general, convertirla a su forma ordinaria y encuentra los elementos que lo componen (Coordenadas del centro, vértices, focos, excentricidad, lado recto, longitud eje mayor, longitud eje menor, distancia focal).

a.       x²+4y²-4x+6y-10=0

b.      3x²+4y²-12=0

c.       5x²+10y²-50=0

d.      x²+6y²+4x+2y-1=0

e.      2x²+3y²+6x-9y-7=0

f.        3x²+6y²+12x-14y+1=0

g.       5x²+y²-8x-12=0

h.      x²+9y²+9y-9=0

                                                                                      ELABORÓ: Ing. José Luis Villalobos Santiago.

PROBLEMARIO. CÁLCULO DIFERENCIAL "RAZÓN DE CAMBIO"

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL, GRUPO:502.                        COBAO: PL.56 IXTEPEC.

1.-Si se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio de 80 m, su altura en el instante t viene dada por la función de posición   h=-5t²+80,   con h medido en metros y t en segundos. Calcule la razón media de cambio de la altura en el intervalo   [ 1, 2].

2.-Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a una velocidad de 40m/s (despreciando la resistencia del aire), su distancia S en metros sobre el nivel del suelo después de t segundos se expresa por la función  S= 40t- 4.9t²

3.- Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función  dada en el punto indicado:

a)  f(x)= 2x² + 3x - 1 ,      P( 0, -1 )

b)  y= -4x³ + x²- 020x,      P( -2,  38 )

c)  y=sen 2x,         x=π/2

d)  f(x)=2^x+1,         x=0

e)  f(x)=x²-2,     x=-2

4.-Encuentra el punto de tangencia de la recta a la curva, si la pendiente es de 4,  la curva es
f(x)=-6x + x^2.

5.-La velocidad de un objeto en m/s  es   V(t) =36-t²,      0≤t≤4,  encuentra la aceleración del objeto cuando t=3.5

6.-Un cuerpo se mueve sobre el eje x según la ley   x=f(t)= 5t³- 2t +1,  en donde x se mide en metros y t en minutos. ¿Cuál es la posición del cuerpo después de  2 minutos de haber iniciado su movimiento?

7.-Calcula el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la función dada en el punto indicado

f(x)= x⁴+ 6x³- 2x+ 1,    f´(1/4)

8.-Calcula los puntos donde la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la función dada sea la indicada.

f(x)=x³+ 3x²- 2x+1,       m=1

9.-Problema resuelto Se bombea aire en el interior de un globo a razón de 4.5 pulgadas cúbicas por minuto. Calculare el ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 pulg.*

SOLUCIÓN.  Sea  V el volumen del globo y r su radio. Como el volumen crece a razón de 4.5 pulgadas cúbicas  por minuto, sabemos que en el instante  t el ritmo de cambio del volumen es

dV/dt=4.5

Hallamos   dr/dt     cuando r=2

Para calcular el ritmo de cambio del radio, empleamos la ecuación para hallar el volumen de una esfera:

 V=4/3 πr³ 

Por derivación implícita respecto de t obtenemos:

dV/dt=4πr².dr/dt                     ,  despejamos  dr/dt

dr/dt=(1/4πr²)(dV/dt)

Finalmente, cuando r=2  el ritmo de cambio del radio resulta ser

dr/dt=(1/16π)(4.5)=0.089 pulg/min.

10.- Se está vaciando tierra sobre un montón de forma cónica a razón de 20 m³/min, la altura del cono es siempre igual al radio de la base  ¿con qué rapidez aumenta su altura cuando el montón tiene dos metros de altura? Considere V=1/3πr²h.

11.- Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 2 pie/s. Cuando el radio es 3 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área la región circular perturbada?

12.-Una población de 600 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de números de acuerdo a la ecuación  P(t)= 600 [ 1+  4t /(50+t²) ], donde t  se mide en horas . Halla la razón de cambio al que está creciendo la población cuando t=3.

13.-El costo C de pedido y transporte de las componentes utilizadas en la fabricación de un producto es  C= 100[(200/x) +    x/(x+30) ],    

Donde C se mide en miles de dólares y x es el tamaño del pedido en cientos. Halla la razón de cambio de C respecto a x cuando x=8.

14.- Una proyección a 8 años de las tendencias de  una población indica que, dentro de t años, la población de cierta comunidad será  P(t) = -t³+ 9t²+ 48t+ 200  miles.

Encuentra  la tasa de crecimiento de la población en 3 años y la razón de cambio del crecimiento demográfico respecto al tiempo dentro de 5 años?

15.-En cierta fábrica, se elaboran aproximadamente q(t) = t² + 50t  unidades durante las primeras t horas de una jornada de producción . El costo total de fabricar q unidades es      C(q)= 0.1 q² +10q +400  dólares. Halle la razón a la cual cambia el costo de fabricación  respecto al tiempo 2 horas después de que comienza la producción.

16.-El costo total de producir cierto articulo viene expresado por la función C(t)=-5t²+ 40t+ 8, donde t es en días  y C en miles de pesos. Halle el costo marginal.

Bibliografía utilizada:

Larson Hsotetler, Edwards Cálculo [Libro]. - [s.l.] : Mc Graw Hill. - Vol. Sexta edición.

Laurence D. Hoffmann Gerald L. Bradley Cálculo Para administración, economía y ciencias sociales [Libro]. - [s.l.] : Mc. Graw Hill. - Vol. Séptimo.

 Elaboró: Ing. José Luis Villalobos Santiago.