PROBLEMARIO. CÁLCULO DIFERENCIAL "RAZÓN DE CAMBIO"

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL, GRUPO:502.                        COBAO: PL.56 IXTEPEC.

1.-Si se deja caer un objeto desde lo alto de un edificio de 80 m, su altura en el instante t viene dada por la función de posición   h=-5t²+80,   con h medido en metros y t en segundos. Calcule la razón media de cambio de la altura en el intervalo   [ 1, 2].

2.-Se lanza un objeto verticalmente hacia arriba a una velocidad de 40m/s (despreciando la resistencia del aire), su distancia S en metros sobre el nivel del suelo después de t segundos se expresa por la función  S= 40t- 4.9t²

3.- Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función  dada en el punto indicado:

a)  f(x)= 2x² + 3x - 1 ,      P( 0, -1 )

b)  y= -4x³ + x²- 020x,      P( -2,  38 )

c)  y=sen 2x,         x=π/2

d)  f(x)=2^x+1,         x=0

e)  f(x)=x²-2,     x=-2

4.-Encuentra el punto de tangencia de la recta a la curva, si la pendiente es de 4,  la curva es
f(x)=-6x + x^2.

5.-La velocidad de un objeto en m/s  es   V(t) =36-t²,      0≤t≤4,  encuentra la aceleración del objeto cuando t=3.5

6.-Un cuerpo se mueve sobre el eje x según la ley   x=f(t)= 5t³- 2t +1,  en donde x se mide en metros y t en minutos. ¿Cuál es la posición del cuerpo después de  2 minutos de haber iniciado su movimiento?

7.-Calcula el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la función dada en el punto indicado

f(x)= x⁴+ 6x³- 2x+ 1,    f´(1/4)

8.-Calcula los puntos donde la pendiente de la recta tangente a la curva definida por la función dada sea la indicada.

f(x)=x³+ 3x²- 2x+1,       m=1

9.-Problema resuelto Se bombea aire en el interior de un globo a razón de 4.5 pulgadas cúbicas por minuto. Calculare el ritmo de cambio del radio del globo cuando el radio es de 2 pulg.*

SOLUCIÓN.  Sea  V el volumen del globo y r su radio. Como el volumen crece a razón de 4.5 pulgadas cúbicas  por minuto, sabemos que en el instante  t el ritmo de cambio del volumen es

dV/dt=4.5

Hallamos   dr/dt     cuando r=2

Para calcular el ritmo de cambio del radio, empleamos la ecuación para hallar el volumen de una esfera:

 V=4/3 πr³ 

Por derivación implícita respecto de t obtenemos:

dV/dt=4πr².dr/dt                     ,  despejamos  dr/dt

dr/dt=(1/4πr²)(dV/dt)

Finalmente, cuando r=2  el ritmo de cambio del radio resulta ser

dr/dt=(1/16π)(4.5)=0.089 pulg/min.

10.- Se está vaciando tierra sobre un montón de forma cónica a razón de 20 m³/min, la altura del cono es siempre igual al radio de la base  ¿con qué rapidez aumenta su altura cuando el montón tiene dos metros de altura? Considere V=1/3πr²h.

11.- Se deja caer una piedra en un lago en calma, lo que provoca ondas y círculos. El radio r del círculo exterior está creciendo a un ritmo constante de 2 pie/s. Cuando el radio es 3 pies, ¿a qué ritmo está cambiando el área la región circular perturbada?

12.-Una población de 600 bacterias se introduce en un cultivo y aumenta de números de acuerdo a la ecuación  P(t)= 600 [ 1+  4t /(50+t²) ], donde t  se mide en horas . Halla la razón de cambio al que está creciendo la población cuando t=3.

13.-El costo C de pedido y transporte de las componentes utilizadas en la fabricación de un producto es  C= 100[(200/x) +    x/(x+30) ],    

Donde C se mide en miles de dólares y x es el tamaño del pedido en cientos. Halla la razón de cambio de C respecto a x cuando x=8.

14.- Una proyección a 8 años de las tendencias de  una población indica que, dentro de t años, la población de cierta comunidad será  P(t) = -t³+ 9t²+ 48t+ 200  miles.

Encuentra  la tasa de crecimiento de la población en 3 años y la razón de cambio del crecimiento demográfico respecto al tiempo dentro de 5 años?

15.-En cierta fábrica, se elaboran aproximadamente q(t) = t² + 50t  unidades durante las primeras t horas de una jornada de producción . El costo total de fabricar q unidades es      C(q)= 0.1 q² +10q +400  dólares. Halle la razón a la cual cambia el costo de fabricación  respecto al tiempo 2 horas después de que comienza la producción.

16.-El costo total de producir cierto articulo viene expresado por la función C(t)=-5t²+ 40t+ 8, donde t es en días  y C en miles de pesos. Halle el costo marginal.

Bibliografía utilizada:

Larson Hsotetler, Edwards Cálculo [Libro]. - [s.l.] : Mc Graw Hill. - Vol. Sexta edición.

Laurence D. Hoffmann Gerald L. Bradley Cálculo Para administración, economía y ciencias sociales [Libro]. - [s.l.] : Mc. Graw Hill. - Vol. Séptimo.

 Elaboró: Ing. José Luis Villalobos Santiago.