MATEMÁTICAS
II.
Bloque
I
ÁNGULOS
Definición: Es la amplitud de rotación de una
semirrecta que gira sobre un mismo plano entorno a un punto fijo u origen, el
cual se conoce como vértice del ángulo y las dos posiciones de la semirrecta
serán los lados inicial y final del ángulo.
A´
Lado final
Vértice
Lado
inicial A
Por el sentido de rotación los ángulos pueden
ser:
Ángulos
positivos.
Si la rotación se efectúa en
el sentido contrario al de las manecillas del reloj.
 |
α (+)
Ángulos
negativos.
Si la rotación de la
semirrecta se efectúa en el mismo sentido que las manecillas del reloj.
 |
α (-)
Ángulo de elevación.
Si a
partir de la horizontal el ángulo se mide hacia arriba.
Horizontal θ ![Descripción: C:\Users\jose luis\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\JGCUO2MQ\5-de-mayo-de-2013-019[1].jpg](file:///C:/Users/JOSELU~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.jpg)
‹ θ ángulo de elevación
Ángulo de depresión.
Si a
partir de la horizontal él ángulo se mide hacia abajo.
Horizontal
θ ‹ θ ángulo de
depresión
![Descripción: C:\Users\jose luis\AppData\Local\Microsoft\Windows\Temporary Internet Files\Content.IE5\JGCUO2MQ\5-de-mayo-de-2013-019[1].jpg](file:///C:/Users/JOSELU~1/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.jpg)
Las unidades de uso común para la
medición de ángulos se trabajan en dos sistemas:
Sistema Sexagesimal.
Si dividimos una circunferencia en
360 partes iguales, obtenemos la unidad de medida angular llamada grado
sexagesimal, que es igual a 1/360 de una revolución, se simboliza con un
círculo pequeño como índice y hay 360 grados en una revolución.
Minuto: Es una de 60 partes
iguales en que se divide un grado por tanto
1°= 60´ (1 grado es igual a 60 minutos)
Segundo: Es una de 60 partes
iguales en que se divide un minuto, por tanto hay 60 segundos en un minuto.
1´= 60´´ (1 minuto es igual a 60 segundos)
Sistema Circular.
En el sistema internacional de
medidas la unidad de medida angular es el “radian”, que es el equivalente a la
amplitud generada por un arco de la circunferencia igual a la magnitud del
radio. Hay 2π radianes en una revolución.
2π =una revolución
2π =360°
π =180°
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS.
POR SU ABERTURA.
Por su magnitud los ángulos se
clasifican en:
Ángulos convexos.
Son aquellos que miden más de 0°
pero menos de 180°, esta clasificación incluye a los tres siguientes.
a) Ángulo agudo:
Es aquel que mide más de 0° pero menos de 90°.
A
0° ˂ ABC˂ 90°
B C
b) Ángulo recto: Es el ángulo
que mide exactamente 90°.
M
MNO= 90°
N O
c) Ángulo Obtuso: Es aquel que mide más de
90° pero menos de 180°.
P 90°˂ PQR ˂ 180°
Q R
d) Ángulo colineal o llano: Es el que mide
exactamente 180°.
 |
AOB=180°
A O B
Ángulo
entrante o cóncavo
Es
aquel que mide más de 180° pero menos de 360°, se presentan los casos
siguientes: |
O A O A
B B
180°˂AOB˂360°
Ángulo Perígono: Es
el ángulo generado por una revolución y mide exactamente 360°.
AOB=360°
Nota: Como un caso especial
mencionaremos el ángulo nulo que es aquel que mide exactamente 0°.
PARES
DE ÁNGULOS.
Se llaman pares de ángulos a
todos aquellos que tienen un lado común y se clasifican como adyacentes
 |
α Lado comun
β
α y β son adyacentes
POR
LA SUMA DE SUS MEDIDAS.
Ángulos
complementarios: Son dos ángulos adyacentes cuya suma es
igual a 90° y se dice que cada uno es complemento del otro.
 |
Θ
α + θ = 90°
α
α es el complemento de θ
y θ es el complemento de α.
Ángulos suplementarios:
Son dos ángulos adyacentes cuya suma es igual a 180° y donde cada uno de ellos
es el suplemento del otro.
α θ α + θ =
180°
α es el suplemento de θ
y θ es el suplemento de α.
ÁNGULOS
ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE
Cuando dos paralelas son
cortadas por una transversal o secante se distinguen ocho pares de ángulos
iguales entre sí, y son los siguientes.
Partiendo de dos rectas
paralelas r y s, y una secante t que
corta a ambas, da lugar a ocho ángulos, cuya posición relativa da lugar a su
definición.
Denominación de los ángulos.
Son ángulos adyacentes los siguientes
pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.
Los ángulos adyacentes son
suplementarios.
·
Ángulos opuestos por el vértice: Si los lados de
uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
Son ángulos opuestos por el vértice
los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.
Los ángulos opuestos por el vértice
son congruentes.
·
Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la
secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.
Son ángulos correspondientes los
siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.
Los ángulos correspondientes son
congruentes.
·
Ángulos alternos internos: Son
los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de
las rectas paralelas.
Son ángulos alternos internos los
siguientes pares de ángulos: c,f; d,e.
Los ángulos alternos internos son
congruentes.
·
Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran
a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.
Son ángulos alternos externos los
siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.
Los ángulos alternos externos son
congruentes.
·
Ángulos conjugados o colaterales
internos: que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro
de las rectas.
Son ángulos colaterales internos los
siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.
Los ángulos colaterales internos son
suplementarios.
Son ángulos colaterales externos los
siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.
Los ángulos colaterales externos son
suplementarios.
