CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

MATEMÁTICAS II.

Bloque I

ÁNGULOS

Definición: Es la amplitud de rotación de una semirrecta que gira sobre un mismo plano entorno a un punto fijo u origen, el cual se conoce como vértice del ángulo y las dos posiciones de la semirrecta serán los lados inicial y final del ángulo.

                                                                                 A´

                                Lado final

                    Vértice                                          

                                           Lado inicial              A

Por  el sentido de rotación los ángulos pueden ser:

Ángulos positivos.

Si la rotación se efectúa en el sentido contrario al de las manecillas del reloj.

 

                                           α (+)                     

                                                   

Ángulos negativos.

Si la rotación de la semirrecta se efectúa en el mismo sentido que las manecillas del reloj.

 

                                             α (-)

Ángulo de elevación.

Si a partir de la horizontal el ángulo se mide hacia arriba.

Horizontal                  θ                                    ‹ θ ángulo de elevación

Ángulo de depresión.

Si a partir de la horizontal él ángulo se mide hacia abajo.

                                                            Horizontal

                                 θ                                                                  ‹ θ ángulo de depresión

                            

                                         

Las unidades de uso común para la medición de ángulos se trabajan en dos sistemas:

Sistema Sexagesimal.

Si dividimos una circunferencia en 360 partes iguales, obtenemos la unidad de medida angular llamada grado sexagesimal, que es igual a 1/360 de una revolución, se simboliza con un círculo pequeño como índice y hay 360 grados en una revolución.

Minuto: Es una de 60 partes iguales en que se divide un grado por tanto

                   1°= 60´         (1 grado es igual a 60 minutos)

Segundo: Es una de 60 partes iguales en que se divide un minuto, por tanto hay 60 segundos en un minuto.

                  1´= 60´´         (1 minuto es igual a 60 segundos)

Sistema Circular.

En el sistema internacional de medidas la unidad de medida angular es el “radian”, que es el equivalente a la amplitud generada por un arco de la circunferencia igual a la magnitud del radio. Hay  2π  radianes en una revolución.

                 2π =una revolución

                2π =360°

                π =180°

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS.

POR SU ABERTURA.

Por su magnitud los ángulos se clasifican en:

Ángulos convexos.

Son aquellos que miden más de 0° pero menos de 180°, esta clasificación incluye a los tres siguientes.

a)    Ángulo agudo: Es aquel que mide más de 0° pero menos de 90°.

                                                  

                                                        A

                                                                           0° ˂ ABC˂ 90°

                            B                           C

b) Ángulo  recto: Es el ángulo que mide exactamente 90°.

                                 M        

                                                                         MNO= 90°

                        N                           O

c) Ángulo Obtuso: Es aquel que mide más de 90° pero menos de 180°.

P                                                     90°˂ PQR ˂ 180°

                                 Q                      R

d) Ángulo colineal o llano: Es el que mide exactamente 180°.

 

                                                                                               AOB=180°

     A                               O                           B

Ángulo entrante o cóncavo

Es aquel que mide más de 180° pero menos de 360°, se presentan los casos siguientes:

 

                O                      A                                                                  O                    A     

  B                                                                                                                             B

                                                         180°˂AOB˂360°

Ángulo Perígono: Es el ángulo generado por una revolución y mide exactamente 360°.

                                                                                                         AOB=360°

Nota: Como un caso especial mencionaremos el ángulo nulo que es aquel que mide exactamente 0°.

PARES DE ÁNGULOS.

Se llaman pares de ángulos a todos aquellos que tienen un lado común y se clasifican como adyacentes

 

                                        α                  Lado comun

                                                        β                                                              

                                                                                            α  y β son adyacentes

POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS.

Ángulos complementarios: Son dos ángulos adyacentes cuya suma es igual a 90° y se dice que cada uno es complemento del otro.

 

                                     Θ                                            α  +   θ = 90°

                                        α

α  es el complemento de  θ  y   θ es el complemento de α.

Ángulos suplementarios: Son dos ángulos adyacentes cuya suma es igual a 180° y donde cada uno de ellos es el suplemento del otro.

                     α                       θ                                          α  +   θ = 180°

α  es el suplemento de  θ  y   θ es el suplemento de α.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE

Cuando dos paralelas son cortadas por una transversal o secante se distinguen ocho pares de ángulos iguales entre sí, y son los siguientes.

Partiendo de dos rectas paralelas r y s, y una secante t que corta a ambas, da lugar a ocho ángulos, cuya posición relativa da lugar a su definición.

Denominación de los ángulos.

·         Ángulos adyacentes: Si un lado en común y sus otros dos lados son semirrectas opuestas.

Son ángulos adyacentes los siguientes pares de ángulos: a,b; c,d; a,c; b,d; e,f; g,h; e,g; f,h.

Los ángulos adyacentes son suplementarios.

·         Ángulos opuestos por el vértice: Si los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.

Son ángulos opuestos por el vértice los siguientes pares de ángulos: a,d; b,c; e,h; f,g.

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

·         Ángulos correspondientes u homólogos: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas.

Son ángulos correspondientes los siguientes pares de ángulos: a,e; b,f; c,g; d,h.

Los ángulos correspondientes son congruentes.

·         Ángulos alternos internos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos internos los siguientes pares de ángulos: c,f;  d,e.

Los ángulos alternos internos son congruentes.

·         Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas.

Son ángulos alternos externos los siguientes pares de ángulos: a,h; b,g.

Los ángulos alternos externos son congruentes.

·         Ángulos conjugados o colaterales internos: que se encuentran del mismo lado de la secante y dentro de las rectas.

Son ángulos colaterales internos los siguientes pares de ángulos: c,e; d,f.

Los ángulos colaterales internos son suplementarios.

·         Ángulos conjugados o colaterales externos: que se encuentran en uno y otro lado de la secante.

Son ángulos colaterales externos los siguientes pares de ángulos: a,g; b,h.

Los ángulos colaterales externos son suplementarios.